Exercícios sobre ângulos notáveis
Resolva esta lista de exercícios sobre ângulos notáveis, com problemas que exigem o conhecimento do valor das razões trigonométricas desses ângulos.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
-
Questão 1
Um ciclista vai sair do ponto A, ir até o ponto C e posteriormente vai ao ponto B, como mostrado no triângulo a seguir:
Qual será a distância percorrida pelo ciclista? (use \(\sqrt{3} = 1,7 \))
A) 62,7
B) 61,7
C) 60,4
D) 59,4
E) 58,7
Alternativa A.
Calculando o valor de h, temos que:
\(tg 30^\circ = \frac{\text{CO}}{\text{CA}} \)
\(tg 30^\circ = \frac{h}{40} \)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{40} \)
\(\frac{1,7}{3} = \frac{h}{40} \)
\(3h=40 \cdot 1,7\)
\(3h=68\)
\(h = \frac{68}{3} \)
\(h=22,7\)
Então, somando a distância de A até B, temos que:
\(D = 22,7 + 40 = 62,7\)
-
Questão 2
No triângulo a seguir, podemos identificar o ângulo notável de 45º.
Analisando a imagem, podemos aficar que o valor de x é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Alternativa B.
Podemos aplicar tanto o seno quanto o cosseno para descobrir o valor de x, então temos que:
\(sen 45^\circ = \frac{\text{CO}}{\text{hip}} \)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{x} \)
\(\sqrt{2} x = 2\sqrt{2} \)
\(x=2\)
-
Questão 3
Em um terreno, um engenheiro deseja instalar uma rampa de acesso para um pequeno depósito elevado. A rampa será representada por um triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 5 metros e forma um ângulo de 30º com o solo. Qual será a altura aproximada do depósito em relação ao solo?
A) 5,0 m
B) 4,5 m
C) 4,0 m
D) 3,5 m
E) 3,0 m
F) 2,5 m
Alternativa E.
Primeiro representaremos a situação por meio de imagem:
Agora aplicaremos o seno para encontrar a altura da rampa:
\(sen 30^\circ = \frac{x}{5} \)
\(\frac{1}{2} = \frac{x}{5} \)
\(2x=5\)
\(x = \frac{5}{2} \)
\(x=2,5\)
-
Questão 4
Uma escada de 8 metros está apoiada em uma parede e forma um ângulo de 60° com o solo. Qual é a altura aproximada do topo da escada em relação ao chão?
A) 2 m
B) 4 m
C) 5 m
D) \(4\sqrt{3}\) m
E) \(6\sqrt{3} \) m
Alternativa C.
Primeiro vamos ilustrar a situação:
Agora aplicando seno para encontrar BC, temos:
\(sen 60^\circ = \frac{\overline{BC}}{8} \)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\overline{BC}}{8} \)
\(2\overline{BC} = 8\sqrt{3} \)
\(\overline{BC} = \frac{8\sqrt{3}}{2} \)
\(\overline{BC} = 4\sqrt{3} \)
-
Questão 5
Um avião inicia sua decolagem formando um ângulo de 30° com o solo. Se, após percorrer 500 metros, ele atingir uma altura de h metros, qual o valor de h?
A) 100 m
B) 150 m
C) 200 m
D) 250 m
E) 300 m
Alternativa D.
Primeiro faremos a representação da situação em um triângulo:
Aplicando seno de 30º, temos que:
\(sen 30^\circ = \frac{h}{500} \)
\(\frac{1}{2} = \frac{h}{500} \)
\(2h=500\)
\(h = \frac{500}{2} \)
\(h=250\)
Então a altura será de 250 metros.
-
Questão 6
Um barco parte de um porto e segue em linha reta em direção ao mar, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte. Se o barco percorreu 100 km, qual foi a distância horizontal percorrida?
A) \(50\sqrt{2} \) km
B) \(100\sqrt{2} \) km
C) 70 km
D) 90 km
E) 110 km
Alternativa A.
Seja d a distância horizontal, sabendo que ele percorreu 100 km, temos que é a hipotenusa do triângulo:
Aplicando cosseno de 45°, temos que:
\(\cos 45^\circ = \frac{d}{100} \)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{100} \)
\(2d = 100\sqrt{2} \)
\(d = \frac{100\sqrt{2}}{2} \)
\(d=50√2\)
-
Questão 7
Um foguete é lançado verticalmente, mas um observador está a 500 metros de distância do ponto de lançamento. Se o ângulo de elevação do observador até o foguete for de 45°, qual é a altura do foguete nesse momento?
A) 250 m
B) 400 m
C) 450 m
D) 500 m
E) 550 m
Alternativa D.
Sabemos que a distância do observador até o foguete (cateto adjacente) é de 500 m.
O ângulo é de 45º, então, para encontrar a altura h, temos que:
Aplicando tangente:
\(\tan 45^\circ = \frac{h}{500} \)
\(1 = \frac{h}{500} \)
\(h=500 \cdot 1\)
\(h=500\)
-
Questão 8
Sobre os ângulos notáveis, julgue as afirmativas a seguir:
I. O valor de seno de 30º é igual ao valor do cosseno de 60º.
II. O valor da tangente de 45º é igual ao valor do cosseno de 45º.
III. O valor do seno de 60º é igual ao valor do cosseno de 60º.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.
Alternativa A
I. O valor de seno de 30º é igual ao valor do cosseno de 60º. (correta)
Sabemos que: \(sen30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
II. O valor da tangente de 45º é igual ao valor do cosseno de 45º. (incorreta)
A tangente de 45º é igual a 1, já o cosseno de 45º é igual a \(\frac{\sqrt{2}}{2} \).
III. O valor do seno de 60º é igual ao valor do cosseno de 60º. (incorreta)
O valor do seno de 60º é \(\frac{\sqrt{3}}{2} \), já o cosseno de 60º é \(\frac{{1}}{2} \).
-
Questão 9
(Enem) Para decorar um cilindro circular reto, será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede \(\frac{6}{\pi} \)cm, e, ao enrolar a faixa, obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é:
A) \(36\sqrt{3} \)
B) \(24\sqrt{3} \)
C) \(4\sqrt{3} \)
D) 36
E) 72
Alternativa B.
Primeiro, veja a representação do triângulo:
Sabemos que a medida de x é dada pela multiplicação de 6 vezes o comprimento da circunferência de raio \(\frac{6}{\pi} \), ou seja:
\(x = 6 \cdot 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 72 \)
Agora, para achar BC, basta aplicar a tangente de 30º:
\(tg 30^\circ = \frac{{BC}}{72} \)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{{BC}}{72}\)
\({BC} = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\({BC} = 24\sqrt{3} \)
-
Questão 10
(Enem)
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A) 1,8 km
B) 1,9 km
C) 3,1 km
D) 3,7 km
E) 5,5 km
Alternativa C.
Aplicando tangente de 60º, temos que:
\(tg 60^\circ = \frac{h}{1,8} \)
\(\sqrt{3} = \frac{h}{1,8} \)
\(h = 1,8 \cdot \sqrt{3} \)
\(h=1,8 \cdot 1,7\)
\(h=3,06\)
Logo, a altura aproximada é de 3,1 km.
-
Questão 11
(IFG) Teodolito é um instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, utilizado em trabalhos de construção. Uma empresa foi contratada para pintar um edifício de quatro andares. Para descobrir a área total a ser pintada, ela precisa descobrir a altura do edifício. Uma pessoa posiciona o instrumento a 1,65 metros de altura, encontrando um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Supondo que o teodolito esteja distante \(13\sqrt{3} \) metros do edifício, qual a altura, em metros, do prédio a ser pintado?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Alternativa D.
Aplicando tangente de 30º, temos que:
\(tg 30^\circ = \frac{\text{CO}}{\text{CA}} \)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{13\sqrt{3}} \)
\(3x = 13\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \)
\(3x = 13 \cdot \sqrt{3^2} \)
\(3x=13 \cdot 3\)
\(\frac{3}{3} x = 13 \)
\(x=13\)
Somando a altura do instrumento:
\(13+1,65 = 14,65 m\)
-
Questão 12
(Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km, a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a:
(Considere \({\sqrt{3}}/{3}\) = 0,58)
A) 50%
B) 43%
C) 37%
D) 33%
E) 19%
Alternativa E.
Sabemos que o ângulo reto foi dividido em 3 partes iguais, então o ângulo representado pela região de extração de ouro é de 30º. A altura do retângulo é de 2 km do terreno, então, vamos calcular o cateto oposto ao ângulo utilizando a tangente.
\(\tan 30^\circ = \frac{\text{CO}}{\text{CA}} \)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{2} \)
\(0,58 = \frac{x}{2}\)
\(0,58 \cdot 2 = x\)
\(x=1,16\)
Então, a área do terreno do João será:
\(A = \frac{2 \cdot 1,16}{2} \)
\(A=1,16\)
Se a área total é de 2 ⋅ 3 = 6, então temos que:
\(1,16 \div 6 = 0,9 = 19\% \)