Exercícios sobre Circunferência: Posições Relativas
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Circunferência: Posições Relativas e veja a resolução comentada.
Publicado por: Marcos Noé Pedro da SilvaQuestões
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Questão 1
O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A(4; –7) e B(–8; –3). Se o raio dessa circunferência é 3, determine sua equação.
Calculando o centro C através da equação do ponto médio de um segmento:
Coordenadas A(4; –7) e B(–8; –3).
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De acordo com a lei de formação da equação de uma circunferência (x – a)² + (y – b)² = r², temos que de acordo com o ponto médio o centro da circunferência é (–2; –5), isto é,
a = –2 e b = –5. Então:
(x + 2)² + (y + 5)² = 3²
(x + 2)² + (y + 5)² = 9
A equação da circunferência é dada por (x + 2)² + (y + 5)² = 9.
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Questão 2
(PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.
A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por:
(x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25.
Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que:
3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16
b – 3 = 4 → b = 4 + 3 → b = 7
b – 3 = – 4 → b = – 4 + 3 → b = – 1
O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7.
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Questão 3
(FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r.
![\"\"](\"https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/conteudo/images/cpr3.exercicios.jpg\")
Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1.
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Questão 4
(ITA-SP) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta
![\"\"](\"https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/conteudo/images/cpr4p.exercicios.jpg\")
com a circunferência x² + y² = 400?Vamos obter os pontos de intersecção da reta e da circunferência através da resolução do seguinte sistema de equações:
![\"\"](\"https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/conteudo/images/cpr4.exercicios.jpg\")
Resolvendo o sistema por substituição:
2x + y = 20
y = 20 – 2x
Substituindo y na 2ª equação:
x² + y² = 400
x² + (20 – 2x)² = 400
x² + 400 – 80x + 4x² = 400
5x² – 80x + 400 – 400 = 0
5x² – 80x = 0
5x * (x – 16) = 0
5x = 0
x’ = 0
x – 16 = 0
x’’ = 16
Substituindo x = 0 e x = 16, na equação y = 20 – 2x:
x = 0
y = 20 – 2 * 0
y = 20
S = {0, 20}
x = 16
y = 20 – 2 * 16
y = 20 – 32
y = – 12
S = {16, –12}
Os pontos de intersecção são: {0, 20} e {16, –12}. Vamos agora estabelecer a distância entre eles:
![\"\"](\"https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/conteudo/images/cpr4,1(1).exercicios.jpg\")
A distância entre os pontos de intersecção da reta e da circunferência é igual a 16√5.
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Questão 5
Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.
Resolvendo o sistema
![\"\"](\"https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/conteudo/images/cpr5.exercicios.jpg\")
, determinaremos se possuem pontos em comum.![\"\"](\"https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/conteudo/images/cpr5,1.exercicios.jpg\")
Resolvendo o sistema por Adição:
– 2x – 2y – 6 = 0 → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x
Substituindo y em qualquer das equações:
x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0
x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0
x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0
2x² + 10x + 28 = 0
Resolvendo a equação por Bháskara:
∆ = b² – 4ac
∆ = 10² – 4 * 2 * 28
∆ = 100 – 224
∆ = – 124
Em razão de ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, as circunferências não possuem pontos em comum.
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Questão 6
Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine a coordenada desse ponto.
Resolver o sistema de equações:
Temos pela 1ª equação que x² + y² = 16, então:
x² + y² + 4y = 0 → 16 + 4y = 0 → 4y = – 16 → y = –16/4 → y = –4
x² + y² = 16 → x² + (–4)² = 16 → x² + 16 = 16 → x² = 16 – 16 → x² = 0 → x = 0
O ponto de intersecção das circunferências é {0, – 4}.