Exercícios sobre diferença de dois quadrados
A resolução destes exercícios sobre diferença de dois quadrados envolve a simplificação de expressões com altos valores numéricos e diversas operações para cálculos reduzidos.
Publicado por: Amanda Gonçalves RibeiroQuestões
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Questão 1
Desenvolva os quadrados da diferença e reduza os termos semelhantes para determinar os possíveis valores de x na equação (x + 2) · (7² – 6²) · (x – 2) = 0.
Podemos reorganizar o primeiro membro da equação da seguinte forma:
(x + 2) · (x – 2) · (7² – 6²) = 0
Utilizando o produto notável da diferença de dois quadrados, podemos reescrever a primeira multiplicação como:
(x + 2) · (x – 2) · (7² – 6²) = 0
(x² – 2²) · (7² – 6²) = 0
(x² – 4) · (7² – 6²) = 0O segundo parêntese da equação acima pode ser reescrito através do mesmo produto notável:
(x² – 4) · (7² – 6²) = 0
(x² – 4) · [(7 + 6) · (7 – 6)] = 0
(x² – 4) · [(13 · 1)] = 0
(x² – 4) · 13 = 0Podemos dividir toda a equação por 13:
x² – 4 = 0
x² = 4
x² = √4
x = ± 2Portanto, os possíveis valores de x são x = 2 e x = – 2.
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Questão 2
Determine o valor da expressão: (152² – 151² + 145² – 144²): (5² – 3²).
Na expressão (152² – 151² + 145² – 144²) : (5² – 3²), podemos identificar três casos em que podemos aplicar o produto notável da diferença de dois quadrados. Vamos calculá-los separadamente e substituir os resultados na expressão:
152² – 151² = (152 + 151) · (152 – 151) = 303 · 1 = 303
145² – 144² = (145 + 144) · (145 – 144) = 289 · 1 = 289
5² – 3² = (5 + 3) · (5 – 3) = 8 · 2 = 16Agora substituímos na expressão os valores encontrados:
(152² – 151² + 145² – 144²) : (5² – 3²)
(303 + 289) : 16
592 : 16
37Portanto, o valor da expressão (152² – 151² + 145² – 144²) : (5² – 3²) é 37.
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Questão 3
Calcule um número natural n, sabendo que o produto de seu antecessor com seu sucessor é 120.
O antecessor de n é (n – 1) e o sucessor é (n + 1). Sabendo que o produto entre eles é 120, temos:
(n – 1) · (n + 1) = 120
Podemos utilizar o produto notável da diferença de dois quadrados para resolver essa equação:
(n – 1) · (n + 1) = 120
n² – 1² = 120
n² = 120 + 1
n² = 121
n = √121
n = 11Portanto, o valor procurado de n é 11. Observe que desconsideramos o resultado negativo da raiz quadrada, pois o enunciado informou que n é um número natural, logo, positivo.
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Questão 4
(FGV) Seja N o resultado da operação 375² – 374². A soma dos algarismos de N é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
Utilizando o produto notável da diferença de dois quadrados, sabemos que a² – b² = (a + b)·(a – b). Façamos a = 375 e b = 374, teremos então:
a² – b² = (a + b)·(a – b)
N = 375² – 374²
N = (375 + 374)·(375 – 374)
N = (375 + 374)·1
N = 749O exercício pede o valor da soma dos algarismos de N, o que corresponde a 7 + 4 + 9 = 20. Portanto, a alternativa correta é a letra c.
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Questão 5
(FATEC) Efetuando-se (579 865)² – (579 863)², obtém-se:
a) 4
b) 2 319 456
c) 2 319 448
d) 2 086 246
e) 1 159 728
De acordo com o produto notável da diferença entre quadrados, temos que a² – b² = (a + b)·(a – b). Fazendo a = 579 865 e b = 579 863, temos:
a² – b² = (a + b)·(a – b)
(579 865)² – (579 863)² = (579 865 + 579 863)·(579 865 – 579 863)
(579 865)² – (579 863)² = 1 159 728 · 2
(579 865)² – (579 863)² = 2 319 456A alternativa correta é a letra b.
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Questão 6
(Cefet - MG) Sendo o número n = 684² – 683², a soma dos algarismos de n é:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
O produto notável da diferença de dois quadrados garante que a² – b² = (a + b)·(a – b). Se fizermos a = 684 e b = 683, teremos:
a² – b² = (a + b)·(a – b)
n = 684² – 683²
n = (684 + 683)·(684 – 683)
n = (1367)·1
n = 1367Como estamos à procura da soma dos algarismos de n, temos que 1 + 3 + 6 + 7 = 17. Portanto, a alternativa correta é a letra d.