Exercícios sobre função logarítmica
Esta lista de exercícios testará seus conhecimentos sobre a função logarítmica, que é a função que possui em sua lei de formação o logaritmo de uma variável.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
Dada a função \(f\left(x\right)=log_3x\), o valor da expressão \(f\left(9\right)-f\left(81\right)\) é igual a:
A) 3
B) 2
C) -1
D) -2
E) -3
Alternativa D
Calculando, temos:
\(f\left(9\right)-f\left(81\right)=log_39-log_381\)
\(f\left(9\right)-f\left(81\right)=2-4\)
\(f\left(9\right)-f\left(81\right)=-2\)
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Questão 2
O crescimento de uma determinada cultura de bactérias pode ser descrito por uma função logarítmica, com lei de formação \(f\left(x\right)=2+log_2\left(x+4\right)\) , em que x é o tempo em anos e \(f\left(x\right)\) é a quantidade de bactérias em milhares.
Nessas condições, a quantidade de bactérias que existirá após 5 anos é igual a:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Alternativa B
Queremos que \(f\left(x\right)=2+log_2\left(x+4\right)\)
\(2+log_2\left(x+4\right)=5\)
\(log_2\left(x+4\right)=5-2\)
\(\ log_2\left(x+4\right)=3\)
Aplicando a definição de log:
\(2^3=x+4\)
\(8=x+4\)
\(8-4\ =x\)
\(x=4\ \)
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Questão 3
Sobre a função logarítmica, é correto afirmar que:
I – A função logarítmica é sempre crescente.
II – A lei de formação da função logarítmica é \(f\left(x\right)=log_ax\).
III – A função logarítmica é a função inversa da função exponencial.
Podemos afirmar que:
A) Somente a afirmativa I é falsa.
B) Somente a afirmativa II é falsa.
C) Somente a afirmativa III é falsa.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Alternativa A
I – Falsa
A função logarítmica pode ser crescente ou decrescente.
II – Verdadeira
A lei de formação da função logarítmica possui a variável no logaritmando.
III – Verdadeira
De fato, a função logarítmica é a função inversa da função exponencial.
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Questão 4
Uma função logarítmica possui lei de formação igual a \(f\left(x\right)=log_2x\). Qual deve ser o valor de x para que \(f\left(x\right)=10\)?
A) 64
B) 128
C) 256
D) 512
E) 1024
Alternativa E
Queremos que \(f\left(x\right)=log_2x=10\)
Aplicando a definição de logaritmo:
\(2^{10}=x\)
\(x=1024\ \)
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Questão 5
Uma função logarítmica é considerada decrescente quando:
A) o valor da base do logaritmo é um número negativo.
B) o valor da base do logaritmo é uma fração.
C) o valor da base do logaritmo é um número positivo.
D) o valor da base do logaritmo é um número menor que 1.
E) o valor da base do logaritmo é igual a 1.
Alternativa D
Para que a função logarítmica tenha comportamento decrescente, é necessário que a sua base seja um número menor que 1. Vale ressaltar que a base do logaritmo, por definição, não é um número negativo.
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Questão 6
Estudos do IBGE constataram que o tempo de vida de uma população pode ser descrita pela função \(T(x)=16\cdot(250\ log\ x-844), \) em que x é igual a um determinado ano. Caso esse comportamento seja mantido durante muitos anos, a expectativa de vida para essa população nos anos 3000 será de: (Use log3 = 0,4)
A) 67 anos
B) 78 anos
C) 84 anos
D) 96 anos
E)100 anos
Alternativa D
Calculando o valor da função para x = 3000:
\(T\left(x\right)=16\cdot\left(250logx-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(250log\left(3000\right)-844\right)\)
Utilizando as propriedades do logaritmo:
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(250log(3\bullet1000)-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(250(log3+log1000)-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(250(0,4+3)-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(250\cdot3,4-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(250\cdot3,4-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot\left(850-844\right)\)
\(T\left(3000\right)=16\cdot6=96\ anos\)
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Questão 7
(Furb) Considere \(f(x) \) = \(log_2x\) cujo domínio é o conjunto dos números reais maiores do que zero e g(x) = 4x-1 cujo domínio é o conjunto dos números reais. Sendo \(h(x) = f(g(x)), \), pode-se afirmar que \(h(2) - f(2) \) é um número:
A) ímpar.
B) nulo.
C) múltiplo de 2.
D) múltiplo 3.
E) múltiplo de 5.
Alternativa A
Calculando \(f\left(2\right)=log_22=1\)
Calculando \(h(2)=f(g(2))\)
\(g\left(2\right)=4^{2-1}=4^1=4\)
\(h(2)\ =f\left(g\left(2\right)\right)=f\left(4\right)=log_24=2\)
Então, temos:
\(h\left(2\right)-f\left(2\right)=2-1=1\)
1 é um número ímpar.
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Questão 8
O pH é utilizado para medir o quanto uma substância é ácida ou básica. Ele pode ser calculado pela fórmula:
\(pH=-log\left[H^+\right]\)
\([H^+] \) representa a concentração de íons de hidrogênio.
Uma substância pode ser classificada como ácida, básica ou neutra.
• Se a solução apresenta um pH = 7, ela é neutra.
• Se a solução apresenta um pH ≥ 7, ela é básica.
• Se a solução apresenta um pH ≤ 7, ela é ácida.
Sabendo que a concentração de íons de hidrogênio do leite é de 10-7 e do café é de 10-5, podemos afirmar que essas substâncias são, respectivamente:
A) neutra e básica.
B) ácida e neutra.
C) básica e ácida.
D) ácida e básica.
E) neutra e ácida.
Alternativa E
Calcularemos o pH do leite:
\(pH_{leite}=-log{10}^{-7}\)
\(pH_{leite}=-\left(-7\right)log10\)
\(pH_{leite}=7\ (neutro)\ \)
Agora, calcularemos o pH do café:
\(pH_{leite}=-log{10}^{-5}\)
\(pHcafé=--5log10\)
\(pHcafé=5 (ácido)\)
Portanto, temos, respectivamente, um pH neutro e um pH ácido.
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Questão 9
(Enem 2019) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidade de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.
Para calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 3,30 + log(A∙f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (µm) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2000 µm e frequência de 0,2 Hz.
Disponível em http://cejarj.cejarj.edu.br. Acesso em: 1 fev 2015 (adaptado).
Utilize 0,3 como aproximação para log 2.
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como
A) pequeno.
B) ligeiro.
C) moderado.
D) grande.
E) extremo.
Alternativa C
Dados: A = 2000 µm e f = 0,2 Hz
Substituindo na fórmula:
\(M_s=3,30+log\left(2000\cdot0,2\right)\)
\(M_s=3,3+log\left(400\right)\)
Utilizando as propriedades do logaritmo:
\(M_s=3,3+log\left(4\cdot100\right)\)
\(M_s=3,3+\left(log4+log100\right)\)
\(M_s=3,3+log2^2+2\)
\(M_s=3,3+2log2+2\)
Sabemos que log2=0,3:
\(M_s=3,3+2\cdot0,3+2\)
\(M_s=3,3+0,6+2\)
\(M_s=5,9\)
De acordo com a tabela, houve um terremoto moderado.
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Questão 10
O gráfico a seguir descreve uma função logarítmica:
Analisando o gráfico, podemos afirmar que:
I – Essa função é decrescente.
II – A base dessa função é igual a 2.
III – A lei de formação da função é fx=log12x.
Marque a alternativa correta:
A) Somente I é falsa.
B) Somente II é falsa.
C) Somente III é falsa.
D) Todas são verdadeiras.
Alternativa B
I – Verdadeira
Analisando o gráfico, é possível perceber que ele se trata de uma função decrescente, pois à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui.
II – Falsa
Uma função logarítmica é decrescente quando sua base é menor que 1, logo ela não pode ser igual a 2.
III – Verdadeira
Analisando os pontos da função:
\(f\left(x\right)=log_ax\)
Quando \(x = \frac{1}{2} y = 1\), temos que:
\(1=log_a\frac{1}{2}\)
\(a^1=\frac{1}{2}\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Assim, a lei de formação dessa função será \(f\left(x\right)=log_\frac{1}{2}x\) .
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Questão 11
(Cesgranrio) Quando a orelha humana é submetida continuamente a ruídos de nível sonoro superior a 85 dB, sofre lesões irreversíveis. Por isso, o Ministério do Trabalho estabelece o tempo máximo diário que um trabalhador pode ficar exposto a sons muito intensos. Esses dados são apresentados a seguir:
• Nível sonoro (dB); 85; tempo máximo de exposição (h); 8
• Nível sonoro (dB); 90; tempo máximo de exposição (h); 4
• Nível sonoro (dB); 95; tempo máximo de exposição (h); 2
• Nível sonoro (dB); 100; tempo máximo de exposição (h); 1
Observa-se, portanto, que a cada aumento de 5 dB no nível sonoro, o tempo máximo de exposição cai para a metade. Sabe-se ainda que, ao assistir a um show de rock, espectadores próximos às caixas de som estão expostos a um nível sonoro de 110 dB. O nível de intensidade sonora (N) é expresso em decibéis (dB) por:
\(N=10log\frac{I}{I_0}\)
• I = intensidade sonora fornecida pela caixa de som.
• I0 = intensidade padrão, correspondente ao limiar da audição (para o qual N = 0).
Para o nível de intensidade N = 120 dB, a intensidade sonora fornecida pela caixa de som deverá ser de:
A) 1014 I0
B) 1012 I0
C) 1200 I0
D) 120 I0
E) 12 I0
Alternativa B
Sendo N = 120, temos:
\(N=10log\frac{I}{I_0}\)
\(120=10log\frac{I}{I_0}\)
\(\frac{120}{10}=log\frac{I}{I_0}\)
\(\frac{120}{10}=log\frac{I}{I_0}\)
Aplicando a definição de logaritmo:
\({10}^{12}=\frac{I}{I_0}\)
\(I={10}^{12}I_0\)
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Questão 12
(PUC-MG) De acordo com pesquisa feita na última década do século XX, a expectativa de vida em certa região é dada, em anos, pela função E(t) = 12 (150 log(t) – 491), sendo t o ano de nascimento da pessoa. Considerando-se log 2000 = 3,32, uma pessoa dessa região que tenha nascido no ano 2000 tem expectativa de viver:
A) 68 anos
B) 76 anos
C) 84 anos
C) 92 anos
Alternativa C
Calculando a expectativa de vida, temos:
\(E\left(t\right)=12150logt–491\)
\(E\left(2000\right)=12150log2000–491\)
\(E\left(2000\right)=12150∙3,32–491\)
\(E\left(2000\right)=12150∙3,32–491\)
\(E\left(2000\right)=12498–491\)
\(E\left(2000\right)=12\cdot7\)
\(E\left(2000\right)=84\ anos\)