Exercícios sobre matriz identidade
Esta lista de exercícios possui questões sobre matriz identidade, que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
Uma matriz é considerada matriz identidade se:
A) os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos forem diferentes de 1.
B) os elementos da diagonal principal forem iguais a 0 e os demais elementos forem iguais a 1.
C) os elementos da diagonal principal forem diferentes de 0 e os demais elementos forem iguais a 1.
D) os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0.
Alternativa D
Em uma matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais elementos são iguais a 0.
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Questão 2
Sobre a matriz identidade In e a matriz quadrada An, com todos os elementos diferentes de 0, julgue as afirmativas a seguir:
I) \(A\cdot I=A\)
II) \(A+I=A\)
III) \( A-I=I\ \)
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I está correta.
B) Somente a afirmativa II está correta.
C) Somente a afirmativa III está correta.
D) Somente as afirmativas I e II estão corretas.
E) Todas as afirmativas estão corretas.
Alternativa A
A matriz identidade é o elemento neutro do produto entre as matrizes. Sendo assim, ao multiplicarmos a matriz identidade por uma matriz A qualquer, esse produto vai ter como resultado a própria matriz A.
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Questão 3
A soma entre as matrizes A e B gera matriz identidade de ordem 2:
\(A=\left[\begin{matrix}3&a\\b&-2\\\end{matrix}\right]e\ B=\left[\begin{matrix}c&4\\-1&d\\\end{matrix}\right]\)
Então, o valor de a + b + c + d é:
A) 2
B) 1
C) 0
D) - 1
E) - 2
Alternativa E
Sabemos que A + B = I:
\(\left[\begin{matrix}3&a\\b&-2\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}c&4\\-1&d\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
a + 4 = 0
a = - 4b - 1 = 0
b = 13 + c = 1
c = 1 - 3
c = - 2- 2 + d = 1
d = 1 + 2
d = 3Temos que:
a + b + c + d = - 4 + 1 - 2 + 3 = - 2
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Questão 4
Nas alternativas a seguir, marque aquela que possui uma matriz identidade:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
C) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
E) \( \left[\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right]\)
Alternativa D
Analisando as matrizes apresentadas, percebemos que a única que possui diagonal principal igual a 1 e os demais termos todos iguais a zero é a alternativa D, que apresenta a matriz identidade de ordem 3.
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
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Questão 5
O produto entre as matrizes \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\a&5\\\end{matrix}\right]\) e \(B=\left[\begin{matrix}2&-\ a\\-3&5\\\end{matrix}\right]\) gera a matriz identidade, assim, podemos afirmar que o valor de a + b é:
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
Alternativa C
Sabemos que:
\(\left[\begin{matrix}2&3\\a&5\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}5&b\\-3&2\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Calculando o produto entre a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B:
5a - 15 = 0
5a = 15
a = 15 : 5
a = 3
Agora, calculando o valor de b por meio do produto entre a primeira linha da matriz A e a segunda linha da matriz B:
2b + 6 = 0
2b = - 6
b = - 6 : 2
b = - 3
Calculando a soma:
a + b = 3 - 3 = 0
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Questão 6
(Fuvest) Considere a matriz:
\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a&2a+1\\a-1&a+1\\\end{matrix}\right]\)
Sabemos que a é um número real e que A admite inversa A-1, cuja primeira coluna é:
\(\left[\begin{matrix}\ 2a-1\\-1\ \\\end{matrix}\right]\)
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A-1 é igual a:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Alternativa A
Sabemos que o produto entre uma matriz e a sua inversa é igual à matriz identidade:
\(\left[\begin{matrix}a&2a+1\\a-1&a+1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}2a\ -\ 1&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Calculando o produto entre a segunda linha da primeira matriz e a primeira coluna da segunda matriz:
(a - 1) (2a - 1) + (a + 1) (- 1) = 0
2a² - a - 2a + 1 - a - 1 = 0
2a² - 4a = 0
Nessa equação, colocando a em evidência, temos que:
a(2a - 4) = 0
Assim, a = 0 ou 2a - 4 = 0, mas note que a deve ser diferente de 0, pois se ele for zero, teremos matriz nula, logo nos resta a opção de que 2a - 4 = 0.
2a - 4 = 0
2a = 4
a = 4 : 2
a = 2
Sendo a = 2:
\(A=\left[\begin{matrix}2&2\bullet2+1\\2-1&2+1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\)
Sobre a matriz B, sabemos que:
\(B=\left[\begin{matrix}2\ \bullet2-1&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]\)
Para encontrar o valor da soma da diagonal principal, encontraremos o valor de c:
\(\left[\begin{matrix}2&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}3&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Da multiplicação, obtemos:
2b + 5c = 0
1b + 3c = 1
Na segunda equação, podemos isolar b:
1b + 3c = 1
b + 3c = 1
b = 1 - 3c
Substituindo na primeira equação:
2(1 - 3c) + 5c = 0
2 - 6c + 5c = 0
2 - c = 0
c = 2
A soma dos termos da diagonal principal da matriz inversa é:
2 + 3 = 5
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Questão 7
As matrizes \(A=\left[\begin{matrix}5&8\\2&4\\\end{matrix}\right]\) e \( B=\left[\begin{matrix}1&-2\\x&y\\\end{matrix}\right]\) são inversas, ou seja, o produto entre elas é igual à matriz identidade. Então, o valor de x + y é:
A) 1,75
B) 1,50
C) 1,25
D) 0,75
E) 0,25
Alternativa D
Como as matrizes são inversas, sabemos que o produto entre elas é igual à matriz identidade:
\(\left[\begin{matrix}5&8\\2&4\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&-2\\x&y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Multiplicando a segunda linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B:
2 + 4x = 0
4x = - 2
x = \(-\ \frac{2}{4}\)
x = - 0,5
Agora, para calcular o valor de y, faremos a primeira linha da matriz A vezes a segunda coluna da matriz B:
- 2 ∙ 5 + 8y = 0
- 10 + 8y = 0
8y = 10
y = \(\frac{10}{8}\)
y = 1,25
Então a soma é:
x + y = - 0,5 + 1,25 = 0,75
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Questão 8
Duas matrizes, A e B, são matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que A é a matriz inversa de B, então det(BA) é igual a:
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
Alternativa D
Como a matriz A é a inversa da matriz B, o produto entre ambas, BA, é igual à matriz identidade de ordem n.
De modo geral, a matriz identidade possui diagonal principal com termos iguais a 1 e os demais termos iguais a 0. Sendo assim, o determinante de BA é igual ao determinante da matriz identidade, e o determinante da matriz identidade é sempre igual a 1.
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Questão 9
(Udesc) Sendo a matriz
\(\left[\begin{matrix}x^2-6x+9&0\\x^2-3x-4&1\\\end{matrix}\right]\)
igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2x é:
A) - 4
B) 6
C) 4
D) 8
E) - 8
Alternativa D
Sabemos que:
x² - 6x + 9 = 0 (I)
x² - 3x - 4 = 1 (II)
Fazendo a subtração I - II, temos que:
0x² - 3x + 11 = - 1
- 3x = - 1 - 11
- 3x = - 12 (- 1)
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
Se x = 4, então o valor de 2x = 2 ⋅ 4 = 8.
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Questão 10
Ao calcular o produto entre as matrizes A e B, foi encontrada como resposta a própria matriz A. Sabendo que essas matrizes são de ordem 3, podemos afirmar que B é matriz:
A) nula de ordem 3.
B) inversa da matriz A.
C) unitária de ordem 3.
D) identidade de ordem 3.
E) linha de ordem 3.
Alternativa D
B deve ser a matriz identidade, já que é a matriz identidade o elemento neutro da multiplicação entre matrizes.
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Questão 11
Considere a matriz A = [aij]2x2, tal que:
\(aij=1,\ se\ i=j\)
\(aij=0,\ se\ i\neq j\ \)
A alternativa que contém essa matriz é:
A) \(\left[\begin{matrix}1&0\\1&0\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}1&1\\0&0\\\end{matrix}\right]\ \)
C) \( \left[\begin{matrix}0&1\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
E) \( \left[\begin{matrix}0&0\\1&1\\\end{matrix}\right]\)
Alternativa D
Sabemos que essa matriz é 2x2, então os seus termos são:
\(\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\)
Logo:
\(a_{11}=1,\ pois\ 1=1\)
\(a_{12}=0,\ pois\ 1\neq2\)
\(a_{21}=0,\ pois\ 2\neq1\)
\(a_{22}=1,\ pois\ 2=2\ \)
Substituindo os valores, encontraremos a matriz identidade de ordem 2, ou seja:
\(\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
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Questão 12
Sobre a matriz identidade, julgue as afirmativas a seguir:
I) A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada.
II) A matriz identidade é sempre uma matriz diagonal.
III) A matriz identidade é o elemento neutro da soma de matrizes.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I está incorreta
B) Somente a afirmativa II está incorreta
C) Somente a afirmativa III está incorreta
D) Todas as afirmativas estão corretas.
Alternativa C
I) A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada. (verdadeiro)
A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, existe matriz identidade de qualquer ordem, desde que ela seja quadrada.
II) A matriz identidade é sempre uma matriz diagonal. (verdadeira)
A matriz identidade possui os termos da diagonal iguais a 1 e os demais termos iguais a zero, logo ela é uma matriz diagonal.
III) A matriz identidade é o elemento neutro da soma de matrizes. (falsa)
A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, e não da soma.