Exercícios sobre poliedros
Esta lista de exercícios possui questões resolvidas sobre poliedros, que são casos particulares de sólidos geométricos.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:
A) cubo.
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
Alternativa D. Os paralelepípedos nem sempre são sólidos de Platão, pois as suas faces não são todas iguais, exceto quando ele é um hexaedro regular. Assim sendo, não podemos afirmar que todo paralelepípedo é um sólido de Platão.
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Questão 2
Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:
A) 20.
B) 24.
C) 28.
D) 30.
E) 32.
Alternativa D.
Sabemos que ele é convexo, logo vale a relação de Euler:
V + F = A + 2
12 + 20 = A + 2
32 = A + 2
A = 32 – 2
A = 30
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Questão 3
(Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:
A) 33 vértices e 22 arestas.
B) 12 vértices e 11 arestas.
C) 22 vértices e 11 arestas.
D) 11 vértices e 22 arestas.
E) 12 vértices e 22 arestas.
Alternativa E. A pirâmide possui todas as faces laterias no formato de triângulos. Além dessas 11 faces triangulares, há somente mais 1 face, a face da base, que é formada por um polígono de 11 lados e 11 vértices, já que há 11 faces triangulares. Além dos 11 vértices da base, esse polígono possui também o chamado vértice da pirâmide. Assim sendo, esse poliedro possui 12 vértices. Pela relação de Euler, temos que:
V + F = A + 2
12 + 12 = A + 2
24 = A + 2
A = 24 – 2
A = 22
Portanto, 12 vértices e 22 arestas.
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Questão 4
Analise o sólido geométrico a seguir:
Podemos afirmar que:
(I) esse sólido geométrico possui o total de 10 arestas.
(II) esse sólido geométrico é composto por 5 retângulos e 2 pentágonos.
(III) esse sólido geométrico é um poliedro.
Marque a alternativa correta.
A) Somente I é falsa
B) Somente II é falsa
C) Somente III é falsa
D) Somente I e II são falsas
E) Somente I e III são falsas
Alternativa A.
(I) Falsa, pois ele possui um total de 15 arestas.
(II) Verdadeira.
(III) Verdadeira.
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Questão 5
Considere as afirmações a seguir sobre poliedros.
I → O cilindro é um poliedro, pois suas faces são formadas por círculos.
II → A pirâmide é um poliedro, pois sua base é um polígono e as suas faces laterais são triângulos.
III → O trapézio é um poliedro, pois ele possui lados formados por polígonos e é fechado.
Marque a alternativa correta.
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Alternativa B.
I → Falsa, pois o cilindro é um corpo redondo, e não um poliedro.
II → Verdadeira.
III → Falsa, pois o trapézio é um objeto bidimensional, logo ele é um polígono, e não um poliedro.
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Questão 6
(Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é
A) tetraedro.
B) pirâmide retangular.
C) tronco de pirâmide retangular.
D) prisma quadrangular reto.
E) prisma triangular reto.
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Questão 7
Um poliedro pode ser classificado como convexo ou côncavo, dependendo do seu formato. Veja alguns poliedros.
A) Convexo, convexo e côncavo.
B) Côncavo, convexo e côncavo.
C) Convexo, côncavo e convexo.
D) Convexo, Convexo e côncavo.
E) Côncavo, côncavo e convexo.
Alternativa D. Um poliedro é côncavo quando, dados dois pontos pertencentes ao poliedro, o segmento que liga esses dois pontos não pertence ao poliedro, caso contrário ele é convexo. O único poliedro que satisfaz a definição para ser côncavo é o III, então:
I → convexo
II → convexo
III → côncavo
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Questão 8
Um garimpeiro encontrou uma pedra preciosa que possui o formato igual ao do poliedro a seguir:
Analisando o poliedro a seguir, podemos afirmar que a soma do número de faces, vértices e arestas é igual a:
A) 26.
B) 25.
C) 24.
D) 23.
E) 22.
Alternativa A.
Primeiro vamos contar o número de vértices, arestas e faces na imagem.
A = 12
F = 8
V = 6
Agora, basta realizar a soma:
A + F + V = 12 + 8 + 6 = 26
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Questão 9
(Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:
A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.
Alternativa C.
Calculando o total de arestas, temos que:
4 faces triangulares → 4 · 3
2 faces quadrangulares → 2 · 4
1 face hexagonal → 6
Sabemos que o lado dos polígonos corresponde às arestas do poliedro. Além disso, a aresta é o encontro de duas faces, logo, para encontrar o número de arestas, vamos calcular o total de arestas e dividir por dois, pois elas pertencem a duas faces simultaneamente.
A = (4 · 3 + 2 · 4 + 6 ) : 2
A = (12 + 8 + 6) : 2
A = 26 : 2
A = 13
O total de faces é 4 + 2 + 1 = 7.
Pela relação de Euler, temos que
V + F = A + 2
V + 7 = 13 + 2
V + 7 = 15
V = 15 – 7
V = 8
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Questão 10
(Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:
A) 35.
B) 34.
C) 33.
D) 32.
E) 31.
Alternativa D.
Se ele possui 60 faces triangulares, sabemos que cada face tem 3 arestas; porém, a aresta é o encontro de duas faces, então, para calcular a quantidade de arestas, vamos multiplicar o número de faces por 3 e dividir por 2.
60 · 3 : 2 = 90 arestas.
Agora, pela relação de Euler, temos que:
V + F = A + 2
V + 60 = 90 + 2
V = 92 – 60
V = 32
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Questão 11
Considere os sólidos geométricos a seguir.
Podemos afirmar que:
A) somente I é um poliedro.
B) somente II é um poliedro.
C) ambos são poliedros.
D) nenhum deles é um poliedro.
E) ambos são polígonos.
Alternativa B. Analisando os sólidos geométricos, o I é um cone, que é um corpo redondo e não pode ser classificado como poliedro. Já o sólido geométrico II é um prisma de base pentagonal, que é um poliedro.
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Questão 12
Marque a alternativa que possui somente poliedros.
A) Hexaedro, prisma de base triangular, cone.
B) Esfera, cilindro e tronco de cone.
C) Cubo, pirâmide de base quadrada e prisma.
D) Cubo, cone e cilindro.
E) Tronco da pirâmide, pirâmide e elipse.
Alternativa C.
O cubo, as pirâmides e os prismas são todos poliedros.