Exercícios sobre progressão geométrica
Esta lista de exercícios é composta por questões resolvidas sobre progressão geométrica e vai te auxiliar nos seus estudos sobre as principais propriedades da PG.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
A soma dos 8 primeiros termos de uma progressão geométrica é 255. Sabendo que a razão dessa progressão é igual a 2, o primeiro termo dessa sequência é:
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.Alternativa A.
Sabemos que:
S8 = 255
q = 2
Para encontrar o termo a1, temos que:
\(S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \\ 255 = a_1 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} \\ 255 = a_1 \cdot \frac{256 - 1}{1} \\ 255 = a_1 \cdot 255 \\ \frac{255}{255} = a_1 \\ a_1 = 1 \)
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Questão 2
Uma progressão geométrica é decrescente quando:
A) sua razão é um número entre 0 e 1.
B) sua razão é um número maior que 1.
C) sua razão é um número menor que 1.
D) sua razão é um número menor que 0.
E) sua razão é igual a 1.
Alternativa A
A PG é decrescente se a sua razão for um número entre 0 e 1.
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Questão 3
Uma certa população de fungos cresce de forma que seu número dobra a cada 3 horas. Sabendo que havia inicialmente 500 fungos, quantos fungos existirão após 18 horas?
A) 4.000
B) 8.000
C) 16.000
D) 32.000
E) 64.000Alternativa D.
Se o crescimento sempre dobra, então a razão será igual a 2.
Sabemos que o número dobra a cada 3 horas. Como há 18 horas, então tivemos um total de 18 : 3 = 6 períodos de duplicação.
Sabemos que havia 500 fungos inicialmente, e queremos o 7º termo, que representa 6 duplicações:
\(a_7 = 500 \cdot 2^{7 - 1} = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32.000 \)
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Questão 4
Em uma fazenda de criação de abelhas em Cocalzinho de Goiás, observou-se que uma espécie de ácaro parasita estava se espalhando entre as colmeias de forma acelerada. Estimativas mostraram que o número de colmeias afetadas aumentava segundo uma progressão geométrica de razão 1,5 a cada semana. Sabendo que, em um certo dia, havia 120 colmeias contaminadas e que a progressão se manteve constante, o número de colmeias afetadas ao final da quarta semana será:
A) 150
B) 280
C) 370
D) 405
E) 508Alternativa D.
Sabemos que q = 1,5, que n = 4 e que o primeiro termo (a1) =120, então:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \\ a_4 = 120 \cdot 1{,}5^{4 - 1} \\ a_4 = 120 \cdot 1{,}5^3 \\ a_4 = 120 \cdot 3{,}375 \\ a_4 = 405 \)
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Questão 5
A sequência (5, −15, 45, −135, ...) forma uma progressão geométrica. O sexto termo dessa progressão é:
A) -405.
B) 1.215.
C) -1.215.
D) 3.645.
E) -3.645.Alternativa D.
Primeiro calcularemos a razão:
\(q = \frac{-15}{5} = -3 \\ a_7 = 5 \cdot (-3)^{7 - 1} \\ a_7 = 5 \cdot (-3)^6 \\ a_7 = 5 \cdot 729 \\ a_7 = 3645 \)
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Questão 6
Considere a sequência (2, 6, 18, 54, ...), que é uma progressão geométrica. O quinto termo dessa progressão é:
A) 108.
B) 126.
C) 144.
D) 156.
E) 162.Alternativa E.
Calculando a razão, temos que:
\(q = \frac{6}{2} = 3\)
Como a1=2, então:
\(a_5 = 2 \cdot 3^{5 - 1} \\ a_5 = 2 \cdot 3^4 \\ a_5 = 2 \cdot 81 \\ a_5 = 162 \)
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Questão 7
Dada a progressão geométrica (3, 6, 12, 24, 48, ...), a soma dos 9 primeiros termos dessa progressão é:
A) 765.
B) 1.023.
C) 1.089.
D) 1.215.
E) 1.533.Alternativa E.
Dados:
\(q = \frac{6}{3} = 2\\ a_1 = 3 \\ n = 9\)
Calculando a soma:
\(S_9 = 3 \cdot \frac{2^9 - 1}{2 - 1} \\ S_9 = 3 \cdot \frac{512 - 1}{1} \\ S_9 = 3 \cdot 511 \\ S_9 = 1533 \)
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Questão 8
Considere a sequência (5,10, 20, 40, 80,… ). Podemos afirmar que essa sequência é uma progressão geométrica cujo:
A)a1 = 5 e q = 3.
B) a1 = 10 e q = 2.
C) a1 = 5 e q = 2.
D) a1 = 5 e q = 4.
E) a1 = 10 e q = 4.
Alternativa C.
Temos que:
\(q=\frac{10}{5}=2 \)
E sabemos que:
a1 = 5
Logo, a1 = 5 e q = 2.
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Questão 9
Em uma indústria de eletrônicos, foram produzidos 150 aparelhos no mês de março. Em julho do mesmo ano, a produção atingiu 2.400 aparelhos. Sabendo que a quantidade de aparelhos produzidos de março a julho forma uma progressão geométrica crescente, a produção de aparelhos no mês de maio foi de:
A) 600.
B) 800.
C) 900.
D) 1.200.
E) 1.500.
Alternativa A.
Sabemos que:
an = a1 · qn-1
Para n = 5
a5 = a1 · q4
Substituindo os valores:
\(2400 = 150 \cdot q^4 \\ \frac{2400}{150} = q^4 \\ 16 = q^4 \\ q = \sqrt[4]{16} \\ q = 2 \)
Sabendo que a razão é 2, calcularemos o 3º termo:
\(a_3 = 150 \cdot 2^2 \\ a_3 = 150 \cdot 4 \\ a_3 = 600 \)
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Questão 10
Sobre uma progressão geométrica (PG) crescente, assinale a alternativa correta:
A) Uma PG é crescente quando sua razão q é negativa.
B) Uma PG é crescente quando o primeiro termo (a1) é maior que a razão q.
C) Uma PG é crescente quando a razão q é maior que 1 e o primeiro termo (a1) é positivo.
D) Uma PG é crescente quando a razão q é menor que 1.
E) Uma PG é crescente quando o primeiro termo (a1) é negativo.
Alternativa C.
A PG é crescente quando a sua razão é um número maior que 1 e quando seu primeiro termo é um número positivo.
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Questão 11
Uma empresa lançou um serviço de entregas por aplicativo, e o número de usuários ativos triplica a cada semana. Na primeira semana, o serviço teve 200 usuários. Mantendo esse ritmo de crescimento, quantos usuários ativos haverá na terceira semana?
A) 600.
B) 1.200.
C) 1.800.
D) 2.000.
E) 2.400.Alternativa C.
Sabemos que:
\(a_1=200\\ q= 3\\ n=3 \)
Então temos que:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\ a_3=200\cdot3^2\\ a_3=200\cdot9\\ a_3=1800 \)
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Questão 12
Analise as sequências abaixo e identifique qual delas representa uma progressão geométrica.
A) (2, 5, 8, 11, 14)
B) (81, 27, 9, 3, 1)
C) (1, 4, 9, 16, 25)
D) (7, 14, 21, 28, 35)
E) (2, 4, 6, 10, 14)Alternativa B.
Analisando as alternativas, temos que:
Na alternativa A, temos uma sequência em que o próximo termo é igual ao anterior +3, logo temos uma PA de razão 3.
Na alternativa B, temos que uma PG de razão \(\frac{1}{3}\), pois o próximo termo é sempre a terça parte do anterior, o que faz essa ser a alternativa correta.
Na alternativa C, temos uma sequência com os quadrados perfeitos 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 e assim sucessivamente, logo ela não é uma PG.
Na alternativa D, temos uma PA de razão +7.
Na alternativa E, a sequência não é uma progressão.
Sendo assim, a única alternativa que contém uma PG é a alternativa B.