Exercícios sobre Relação de Euler
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada.
Publicado por: Marcos Noé Pedro da SilvaQuestões
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Questão 1
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
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De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32O poliedro em questão possui 32 faces.
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Questão 2
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
V: vértice
A: arestas
F: faces.gif)
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
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Questão 3
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
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Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 -
Questão 4
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
* F + V = A + 2
* A = V + 6F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8O poliedro possui 8 faces.
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Questão 5
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)F = 3*P + x*T
A = 4*xNúmero de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
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Questão 6
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.